[an error occurred while processing this directive]

Функции и их графики Обзор некоторых элементарных функций


Арифметическая прогрессия. Функция $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, задаваемая формулой

 

$\displaystyle f(m)=a_1+(m-1)d,$

 

где $ a_1\in\mathbb{R}$, $ d\in\mathbb{R}$ -- фиксированные числа, а $ m\in\mathcal{D}(f)=\mathbb{N}$, называется арифметической прогрессией. Число $ a_1$ называется при этом первым членом прогрессии, а число $ d$ -- разностью прогрессии. Функцию $ f$ можно представить как ограничение на множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$ линейной функции $ l(x)=dx+(a_1-d)$ с угловым коэффициентом $ d$ и свободным членом $ a_1-d$. Арифметическую прогрессию можно задать и другим, рекуррентным способом:

 

$\displaystyle f(1)=a_1; f(m)=f(m-1)+d$ при $\displaystyle m\geqslant 2.$

 

Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием $ f(1)=a_1$.

Рис.1.28.График арифметической прогрессии


15. Геометрическая прогрессия. Функция $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, задаваемая формулой

 

$\displaystyle f(m)=a_1q^{m-1},$

 

где $ a_1\in\mathbb{R}$, $ q\in\mathbb{R}$ -- фиксированные числа, а $ m\in\mathcal{D}(f)=\mathbb{N}$, называется геометрической прогрессией. Число $ a_1$ называется при этом первым членом прогрессии, а число $ q$ -- знаменателем прогрессии. Функцию $ f$ (при $ q>0$, $ q\ne1$) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$ показательной функции с основанием $ q$, умноженной на постоянный коэффициент $ \dfrac{a_1}{q}$, то есть функции

 

$\displaystyle g(x)=\dfrac{a_1}{q}q^x.$

 

Рис.1.29.График геометрической прогрессии


Геометрическую прогрессию можно задать и иначе, рекуррентным способом:

 

$\displaystyle f(1)=a_1; f(m)=f(m-1)\cdot q$ при $\displaystyle m\geqslant 2.$


ТЕМА 6. Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах

 Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного переменного.

 На основании положений рассмотренных ранее можно сформулировать утверждения, позволяющие находить решения неопределенных уравнений.

 Теорема 6.1. Если , то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство .

 Замечание. Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением НОД двух чисел через эти числа.

 Теорема 6.2. Если в уравнении ,  , то уравнение имеет по крайней мере одно решение.

 Теорема 6.3. Если в уравнении  и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

 Теорема 6.4. Если в уравнении  и , то оно равносильно уравнению  , в котором .

 Теорема 6.5. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

 

где х0, у0 – целое решение уравнения ,  - любое целое число.