Скалярное произведение Векторная алгебра Замечание

Скалярное произведение Векторная алгебра

Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них -- скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

Определение 10.25 Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное $\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}$ , где ${\varphi}$ -- угол между векторами a и b.

Замечание 10.4 Если один из векторов нулевой, то угол ${\varphi}$ не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.

Скалярное произведение обозначается ${\bf a}\cdot{\bf b}$ , или ${\bf a}{\bf b}$ , или $({\bf a},{\bf b})$ . Скалярное произведение вектора на себя, aa, обозначается ${\bf a}^2$ . Скалярное произведение обладает следующими свойствами, которые мы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 10.2 Для любых векторов a и b выполнены следующие соотношения:
1) ${\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf a}$ , свойство коммутативности;
2) ${\bf a}({\bf b}+{\bf c})={\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}$ , свойство дистрибутивности;
3) $({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\lambda}({\bf a}{\bf b})$ ;
4) ${\bf a}^2>0$ при ${\bf a}\ne0$ ;
5) ${\bf a}^2=\vert{\bf a}\vert^2$ ;
6) Если ${\varphi}$ -- угол между векторами a и b, то $\cos{\varphi}=\dfrac{{\bf a}{\bf b}} {\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert}$ ;
7) ${\bf a}{\bf b}=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf b}$ , если ${\bf a}\ne0$ ;
8) ${\bf a}{\bf b}=0$ тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

Доказательство. Свойства 1,4,5,6 очевидным образом следуют из определения скалярного произведения. Свойство 8 получим, если вспомним, что нулевой вектор считается ортогональным любому вектору. Свойство 7 получим из определения скалярного произведения, использовав предложение 10.13, в силу которого ${ Пр_{{\bf a}}{\bf b}=\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}}$ .

Докажем свойство 2. В силу свойства 7, при ${\bf a}\ne0$ , имеем ${{\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}({\bf b}+{\bf c})}$ . По предложению 10.14 ${ Пр_{{\bf a}} ({\bf b}+{\bf c})=Пр_{{\bf a}}{\bf b}+ Пр_{{\bf a}}{\bf c}}$ . Поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert\left( Пр_{{\bf a}}{\b... ...}{\bf b}+\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf c}= {\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}.$

Если ${\bf a}=0$ , то свойство 2 очевидно.

Докажем свойство 3. При ${\bf b}=0$ свойство очевидно. Пусть ${\bf b}\ne0$ . Тогда

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\bf b}({\lambda}{\bf a})=\vert{\bf b}\vert Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a}).$

В силу предложения 10.15 ${ Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a})={\lambda}Пр_{{\bf b}}{\bf a}}$ . Поэтому

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}=\vert{\bf b}\vert{\lambda}Пр_{{\bf b}}{... ..._{{\bf b}}{\bf a}\right)= {\lambda}({\bf b}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}).$

Итак, все свойства доказаны.

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.

Введение в математический анализ Числовая последовательность Вычислить тройной интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность x_1,х₂, …, х_n= {x_n}
Ограниченные и неограниченные последовательности
Монотонные последовательности
Число е
Связь натурального и десятичного логарифмов
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Основные теоремы о пределах
Бесконечно малые функции
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях Sonne satt und Meerblick. Fewo Florida fuer den Urlaub des Jahres.;

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа