[an error occurred while processing this directive]

Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений


2). График $ y={\varphi}(x)$ расположен, по крайней мере в некоторой окрестности корня, вне некоторого угла со сторонами, имеющими наклон более $ \frac{\pi}{4}$ к горизонтали (то есть стороны угла -- прямые $ y=f(x^*)\pm k(x-x^*)$, где $ k>1$):

Рис.9.7.График пересекает прямую $ y=x$ под большим углом: варианты расположения

Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную $ {\varphi}'(x)$, то в этом случае при $ x$, близких к корню $ x^*$, выполнено неравенство $ \vert{\varphi}'(x)\vert>1$.

Рис.9.8.Числа $ x_0,x_1,x_2,\dots$ расходятся в случае $ \vert{\varphi}(x)\vert>1$: два варианта

Каждая следующая итерация $ x_{i+1}$ будет в этом случае расположена дальше от корня $ x^*$, чем предыдущая, $ x_i$. При этом, в зависимости от того, пересекает ли график прямую $ y=x$ "снизу вверх" или "сверху вниз" (см. рис.), последовательность $ \{x_i\}$ монотонно удаляется от корня $ x^*$ или же итерации удаляются от $ x^*$, оказываясь попеременно то справа, то слева от корня.

Ещё одно замечание: если не выполнено ни условие $ {\vert{\varphi}'(x)\vert<1}$, ни условие $ {\vert{\varphi}'(x)\vert>1}$, то итерации $ x_1,x_2,x_3,\dots$ могут зацикливаться. На чертеже ниже приведён пример зацикливания, когда уравнение имеет вид $ x=2x^*-x$.

Рис.9.9.Пример зацикливания итераций

Мы видим, что для сходимости итераций к корню, вообще говоря, не обязательно наличие производной у функции $ {\varphi}(x)$. Однако метод итераций гораздо удобнее формулировать в терминах, связанных со значениями производной. Именно так мы и сформулируем наши наблюдения в виде теоремы.

При соответствующей нумерации ребер и вершин графа, каждая его компонента (связная часть графа) соответствует подматрице матрицы инцидентности, которая в этом случае имеет блочную структуру следующего вида

где Ai – матрица инцидентности, соответствующая i-той компоненте графа.

Данные матрицы часто используются при решении задач об изоморфизме графов (Изоморфные графы отличаются друг от друга нумерацией вершин и ребер).

Часто более удобным способом представления графа является матрица смежности вершин (или просто матрица смежности).

Здесь строки и столбцы нумеруются вершинами графа, а элемент aij равен 1 или 0, в зависимости от того есть ли ребро соединяющее i-тую вершину с j-той. Матрица смежности ранее рассмотренного графа

Если граф не ориентирован, то матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.

При желании можно построить матрицу смежности ребер графа, так называемую двойственную матрицу смежности, но все свойства графа получаемые с помощью такой матрицы можно получить из матрицы смежности вершин. Введем некоторые важные понятия теории графов.

Число ребер инцидентных вершине V (вершина как точка принадлежит ребру) называется степенью вершины V и обозначается . Говорят, что вершина V изолирована, если . Если граф представлен в виде списка смежности, то вес вершины равен сумме элементов строки, соответствующей данной вершине.

Легко доказать следующее утверждение, часто используемое в теории графов.