Физика
Электротехника
Искусство
Термех
Задачи
Информатика
Контрольная
Лаба

Графика

Курсовая
Математика
Чертежи

Реактор

Энергетика
Сопромат
Электроника

Метод Ньютона (метод касательных) нахождение корней уравнения

 

     Пример 9.7   Решим методом Ньютона всё то же уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$, взяв в качестве начального приближения $ x_0=-2$ и задав точность $ {\varepsilon}=0.000001$ (ту же, что была взята при решении этого уравнения методом одной касательной). Поскольку $ f'(x)=3x^2+4x+3$, то итерационная формула метода Ньютона будет такой:

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{x_i^3+2x_i^2+3x_i+5}{3x_i^3+4x_i+3}.$

Применяя эту формулу, последовательно находим:
$\displaystyle x_1=-1.857143;x_2=-1.843842;x_3=-1.843734;x_4=-1.843734,$
так что $ \wt x=-1.843734$ с точностью $ {\varepsilon}$. Как мы видим, значение корня с нужной нам точностью было получено уже на третьем шаге. (Четвёртый шаг понадобился для того, чтобы можно было убедиться, что с нужной нам точностью значение перестало изменяться.)     
        Упражнение 9.2   Найдите тот же корень, начав с $ x_0=-1$. (Заметим, что итерационную формулу при этом менять не надо, в отличие от метода одной касательной.) Сколько потребуется итераций для достижения той же точности? Обратите внимание на то, что сначала приближения ($ x_1$ и $ x_2$) окажутся даже вне отрезка $ [-2;-1]$, но затем $ x_i$ быстро сходятся к $ x^*$ с той же стороны, что в примере.
Ответ: Потребуется 6 итераций.     

Пример Биология, процессы прироста. Пусть колония живых организмов находится в благоприятных условиях, благодаря чему рождаемость выше, чем смертность, причем, пространство, занимаемое колонией, и пищевые ресурсы считать неограниченными. Предположим также, что хищников, питающихся организмами данной колонии, нет. Найти закон изменения численности организмов в зависимости от времени, если при t = 0 их число равнялось .

Решение: будем считать, что скорость изменения численности организмов пропорциональна этой численности и  - коэффициент пропорциональности: .

Так как , то численность y организмов в колонии в момент времени t удовлетворяет уравнению: .

Отсюда  (1).

Разделяем переменные: .

Интегрируя, получим общее решение:

(2).

Найдем постоянную c из начального условия: при t = 0; .

Подставим эти данные в уравнение (2):

; т.е. .

Значит, число ферментов в колонии изменяется по законам

(3).

Ответ: число ферментов в колонии изменяется по законам .

 

Полупроводники