Физика
Электротехника
Искусство
Термех
Задачи
Информатика
Контрольная
Лаба

Графика

Курсовая
Математика
Чертежи

Реактор

Энергетика
Сопромат
Электроника

Метод хорд (метод линейной интерполяции) нахождение корней уравнения


 

Метод простых итераций во всех рассмотреннных вариантах использует для построения очередного приближения $ x_{i+1}$ только информацию о функции в одной лишь точке $ x_i$; при этом никак не используются предыдущие значения $ x_{i-1}, x_{i-2},\dots\;.$ Однако эту предыдущую информацию также можно использовать при нахождении $ x_{i+1}$. В качестве примера такого метода мы приведём метод, основанный на нахождении $ x_{i+1}$ по двум предыдущим приближениям $ x_i$ и $ x_{i-1}$ с помощью линейной интерполяции, называемый методом хорд.

Идея метода состоит в том, что по двум точкам $ M_{i-1}(x_{i-1};f(x_{i-1}))$ и $ M_i(x_i;f(x_i))$ построить прямую $ M_{i-1}M_i$ (то есть хорду, соединяющую две точки графика $ y=f(x)$) и взять в качестве следующего приближения $ x_{i+1}$ абсциссу точки пересечения этой прямой с осью $ Ox$. Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию $ f(x)$ её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям $ x$: $ x_{i-1}$ и $ x_i$. (Линейной интерполяцией функции $ f(x)$ назовём такую линейную функцию $ \ell(x)$, значения которой совпадают со значениями $ f(x)$ в двух фиксированных точках, в данном случае -- в точках $ x_{i-1}$ и $ x_i$.)

Вычисление криволинейных интегралов 1 рода ПРИМЕР. Вычислить интеграл , если , , . Решение. Сводим криволинейный интеграл к определенному с использованием уравнения дуги ( – параметр, ).

В зависимости от того, лежат ли точки $ x_{i-1}$ и $ x_i$ по разные стороны от корня $ x^*$ или же по одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:

Рис.9.14.Построение последовательного приближения по методу хорд: два случая

Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: $ x_{i+1}={\varphi}(x_{i-1};x_i)$. Найдём выражение для функции $ {\varphi}$.

Интерполяционную линейную функцию $ \ell(x)$ будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению

$\displaystyle k_i=\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}},$

построенному для отрезка между $ x_{i-1}$ и $ x_i$, график которой проходит через точку $ M_i$:

$\displaystyle \ell(x)=f(x_i)+\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}(x-x_i).$

Решая уравнение $ \ell(x)=0$, находим

$\displaystyle x_{i+1}=\dfrac{x_{i-1}f(x_i)-x_if(x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})}=
x_i-\dfrac{f(x_i)}{\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}},$

то есть

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f(x_i)}{k_i}.$(9.3)
 


Заметим, что величина $ k_i$ может рассматриваться как разностное приближение для производной $ f'(x)$ в точке $ x_i$. Тем самым полученная формула (9.3) -- это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона.

Вычисление по формуле (9.3) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле

$\displaystyle x_{i+1}=\dfrac{x_{i-1}f(x_i)-x_if(x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})},$

хотя эти две формулы математически тождественны, поскольку при использовании формулы (9.3) в случае вычислений с округлениями (например, на компьютере) достигается меньшая потеря значащих цифр.

Имеются две разновидности применения формулы (9.3).

Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (9.3) при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с двух приближений $ x_0$ и $ x_1$, взятых, по возможности, поближе к корню $ x^*$. При этом не предполагается, что $ x^*$ лежит между $ x_0$ и $ x_1$ (и что значения функции $ f$ в точках $ x_0$ и $ x_1$ имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между $ x_{i-1}$ и $ x_i$ на каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой $ x_{i+1}$ приближает истинное значение корня $ x^*$, и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство $ \vert x_{i+1}-x_i\vert<{\varepsilon}$, где $ {\varepsilon}$ -- желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным $ \wt x=x_{i+1}$.