[an error occurred while processing this directive]
>

Метод хорд (метод линейной интерполяции) нахождение корней уравнения

 

        Пример 9.8   Решим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ методом хорд. Зададимся точностью $ {\varepsilon}=0.000001$ и возьмём в качестве начальных приближений $ x_0$ и $ x_1$ концы отрезка, на котором отделён корень: $ x_0=-2,x_1=-1$. Итерационная формула метода хорд при $ f(x)=x^3+2x^2+3x+5$ имеет вид
$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f(x_i)}{\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}...
...dfrac{(x_i^3+2x_i^2+3x_i+5)-(x_{i-1}^3+2x_{i-1}^2+3x_{i-1}+5)}
 {x_i-x_{i-1}}}.$   
 

Механические приложения ПРИМЕР. Вычислить массу дуги при – линейной плотности распределения массы по дуге .


По этой формуле последовательно получаем:
\begin{multline*}
x_2=-1.75;x_3=-1.905660;
x_4=-1.840182;
x_5=-1.843603;\\
x_6=-1.843735;
x_7=-1.843734;
x_8=-1.843734.
\end{multline*}
Седьмое приближение уже дало нам значение корня с нужной точностью; восьмая итерация понадобилась для того, чтобы убедиться: с заданной точностью значение перестало изменяться. Получаем, что $ \wt x=-1.843734$.      
        Упражнение 9.3   Проведите вычисления тем же методом, переставив местами начальные приближения $ x_0$ и $ x_1$, то есть взяв $ x_0=-1, x_1=-2$. Убедитесь, что получаются другие значения для $ x_3,x_4,\dots$ и что с точностью $ {\varepsilon}$ уже $ x_6$ равняется искомому корню.     
        Пример 9.9   Проверим, что метод работает и в том случае, если $ x_0$ и $ x_1$ взяты по одну и ту же сторону от корня (то есть если корень не отделён на отрезке между начальными приближениями). Возьмём всё для того же уравнения $ x_0=-1.5$ и $ x_1=-1$. Тогда
\begin{multline*}
x_2=-2.090909;
x_3=-1.700772;
x_4=-1.823138;
x_5=-1.845616;\\
x_6=-1.843711;
x_7=-1.843734;
x_8=-1.843734.
\end{multline*}
Мы получили то же значение $ \wt x$, причём за то же число итераций. Может показаться, что было бы выгоднее расположить начальные приближения иначе, так чтобы $ x_1$ было ближе к корню, чем $ x_0$. Однако при этом получаем фактически ту же скорость сходимости, можно заметить лишь небольшое ускорение:
\begin{multline*}
x_2=-2.090909;
x_3=-1.791404;
x_4=-1.836390;
x_5=-1.843972;\\
x_6=-1.843733;
x_7=-1.843734;
x_8=-1.843734.
\end{multline*}
Понадобились всё те же семь вычислений.     

Вторая разновидность применения формулы (9.3) называется методом ложного положения. Предположим, что корень $ x^*$ отделён на отрезке между $ x_0$ и $ x_1$, то есть значения $ f(x_0)$ и $ f(x_1)$ -- разных знаков. После вычисления $ x_{i+1}$ по формуле (9.3) на очередном, $ i$-м, этапе из двух отрезков: между $ x_{i-1}$ и $ x_{i+1}$ и между $ x_i$ и $ x_{i+1}$ -- выбирают тот, в концах которого функция $ f$ принимает значения разных знаков. Если это отрезок между $ x_{i-1}$ и $ x_{i+1}$, то производят перенумерацию предыдущих приближений, то есть полагают $ x_i$ равным $ x_{i-1}$, а затем повторяют вычисления по формуле (9.3). Этим достигается, что при любом $ i$ корень $ x^*$ располагается на отрезке между $ x_i$ и $ x_{i+1}$, так что при выполнении условия $ \vert x_{i+1}-x_i\vert<2{\varepsilon}$, где $ {\varepsilon}$ -- желаемая точность нахождения корня, вычисления можно прекратить и взять приближённое значение корня равным $ \wt x=x_{i+1}$. При этом гарантируется, что будет выполнено неравенство $ \vert\wt x-x^*\vert<{\varepsilon}$, то есть корень будет определён с нужной точностью.

Такое усложнение алгоритма не даёт, на самом деле, сколько-нибудь заметного преимущества. Проиллюстрируем это на примере.

        Пример 9.10   В ситуации примера 9.8 применим метод ложного положения. Тогда последовательные приближения будут такими:
 

Как мы видим, отличаются от вычислений в примере 9.8 только приближения $ x_3,x_4,x_5,x_6$. (Заметим, что если бы в примере 9.8 мы взяли $ x_0=-1, x_1=-2$, см. упражнение 9.3, то вдобавок совпали бы значения $ x_3$.)