[an error occurred while processing this directive]

Приближённое нахождение точки экстремума


Пусть дана функция $ f(x)$, для которой на заданном отрезке $ [a;b]$ нужно найти максимальное значение $ f_{\max}=\max\limits_{x\in[a;b]}f(x)$ или минимальное значение $ f_{\min}=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$ и установить, в какой точке $ x^*$ это экстремальное значение достигается. Так как задача нахождения максимума функции $ f(x)$ эквивалентна задаче нахождения минимума функции $ f_-(x)=-f(x)$, то можно всюду далее предполагать, что решается задача поиска минимума. Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу  будет соответствовать точка , числу  - точка .

Напомним, что если экстремум дифференцируемой функции $ f$ достигается во внутренней точке $ x^*$ отрезка, то $ f'(x^*)=0$ (теорема Феpма). Тем самым, для дифференцируемой функции можно использовать изученные ранее методы поиска корня уравнения, применяя их к уравнению $ f'(x)=0$. Подробнее мы обсудим их ниже, а пока что начнём с методов, в которых вычисление производной не нужно.

ТЕМА 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное и способы их нахождения. Взаимно-простые числа

 Определение 3.1. Общим делителем целых чисел a1, a2,…, an называется любое целое число d, такое что d½а1, d½а2,…, d½аn.

 Пример. 

Числа 30, 165,45 имеют общими делителями числа 3, -3, 15, -15.

 Определение 3.2. Наибольшим общим делителем (НОД) целых чисел a1, a2,…, an называется такой их положительный общий делитель, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

 Обозначение: если d есть НОД чисел a1, a2,…, an , то это записывается следующим образом: (a1, a2,…, an ) = d

Таким образом, из определения 3.2., если (a1, a2,…, an ) = d, то

 1) d> 0,

 2) d½а1, d½а2,…, d½аn,

 3) если существует целое число k, такое что k½a1, k½a2,…, k½an, то k½d.

 Рассмотрим основные свойства НОД целых чисел.

 Теорема 3.3. 1) Для любых целых чисел a1, a2,…, an , из которых хотя бы одно отлично от нуля, существует НОД.

2) Если , где р1, …, рs – различные простые числа, то (a1, a2,…, an ) = .

 Теорема 3.4. Если (a1, a2,…, an ) = d, b½d и b>0, то .

 Теорема 3.5. (a1,…, an-1, an) = ((a1,…, an-1), an).

НОД n чисел (n³ 3) можно найти, найдя сначала НОД n-1 чисел , и взяв затем НОД от полученного таким образом числа d= (a1,…, an) и последнего числа an.

 Замечание 3.4. Из Т. 3.3. следует способ нахождения НОД целых чисел, а именно: 1) разложить каждое число на простые множители, записав разложение в каноническом виде; 2) найти произведение минимальных степеней простых множителей, входящих в разложения.