Векторное произведение Векторная алгебра Предположения

Предложение 10.19 Векторное произведение ${\bf a}\times{\bf b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b-- коллинеарные.

Доказательство. Из определения векторного произведения получим, что ${{\bf a}\times {\bf b}=0}$ тогда и только тогда, когда ${{\bf a}=0}$ , или ${{\bf b}=0}$ , или ${\sin {\varphi}=0}$ . Из последнего равенства получим, что ${{\varphi}=0}$ или ${{\varphi}=\pi}$ , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.

Предложение 10.20 Для любых векторов a и b и любого числа ${\lambda}$ выполняется равенство ${({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ .

Доказательство. Если ${\lambda}=0$ , то утверждение очевидно. Если векторы a и b-- коллинеарные, то векторы ${\lambda}{\bf a}$ и b-- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть ${\lambda}>0$ , a, b-- неколлинеарные, ${{\bf c}=({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}}$ , ${{\bf d}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами ${\lambda}{\bf a}$ и b, равны. Следовательно,

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...a}\times {\bf b}\vert={\lambda}\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, ${{\bf c}={\bf d}}$ .

Пусть ${\lambda}<0$ . Тогда векторы ${\lambda}{\bf a},{\bf b}$ образуют угол $\psi, \psi=\pi-{\varphi}$ , рис. 10.25.

Рис.10.25.

Вычисляем модули:

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...\varphi})= \vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

$\displaystyle \vert{\bf d}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Векторы ${\bf a}\times {\bf b}, {\bf c}$ и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы ${\bf a}\times{\bf b}$ и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и от ${\lambda}{\bf a}$ к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору ${\bf a}\times{\bf b}$ (рис. 10.25) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что ${\bf c}={\bf d}$ .

Предложение 10.21 Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть ${{\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}}$ .

Доказательство это свойства будет проведено позже.

С помощью векторного произведения можно найти площади параллелограмма и треугольника.

Предложение 10.22 Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,

$\displaystyle S_{пар}=\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле

$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.

Предложение 10.23 Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Доказательство. Пусть a и b-- любые неколлинеарные векторы, ${{\bf c}={\bf b}}$ . Тогда вектор ${{\bf a}\times {\bf b}\ne0}$ , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы ${\bf a}\times{\bf b}$ и c-- неколлинеарные, поэтому ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne0}$ . С другой стороны, ${{\bf b}\times {\bf c}={\bf b}\times {\bf b}=0}$ по предложению 10.19. Поэтому ${{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})=0}$ . Получили, что ${({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Введение в математический анализ Числовая последовательность Вычислить тройной интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность x_1,х₂, …, х_n= {x_n}
Ограниченные и неограниченные последовательности
Монотонные последовательности
Число е
Связь натурального и десятичного логарифмов
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Основные теоремы о пределах
Бесконечно малые функции
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях проведение выставок;

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа