[an error occurred while processing this directive]

Упражнения Приближённое нахождение корней уравнений

 

        Упражнение 9.4   Найдите с точностью $ {\varepsilon}=0.00001$ приближённые значения корней уравнений
а) $ 2x^3-3x^2+x+5=0$;
б) $ x^3-4x+2=0$;
в) $ x^4-5x^3+6x-1=0$.
Воспользуйтесь методами половинного деления, хорд и Ньютона. Сравните количество итераций, необходимых для нахождения корня с указанной точностью каждым из этих методов.
Ответы: Пример . Вычислить определитель из предыдущего примера Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится
а) $ x=-0.91857$;
б) $ x^{(1)}=-2.21432;x^{(2)}=0.53919;x^{(3)}=1.67513$;
в) $ x^{(1)}=-1.06900;x^{(2)}=0.17067;x^{(3)}=1.15572;x^{(4)}=4.74262$.     
        Упражнение 9.5   Выпишите итерационную формулу для решения уравнения
$\displaystyle x^5-2x^3+x^2-3x+1=0$
а) методом хорд;
б) методом одной касательной, при начальном приближении $ x_0=0$;
в) методом Ньютона.
Ответы:
а) $ x_{i+1}=x_i-\dfrac{x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1}{
\dfrac{(x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1)-(x_{i-1}^5-2x_{i-1}^3+x_{i-1}^2-3x_{i-1}+1)}
{x_i-x_{i-1}}};$

 Примеры.

Любое целое число можно представить в виде или

 .

Любое целое число можно представить в виде  или  или .

На следующей теореме основан ещё один способ нахождения наибольшего общего делителя.

 Теорема 5.4. Пусть a и b – два целых числа,  0 и ,

 тогда .

 Этот способ называется алгоритмом Евклида. Задача нахождения НОД чисел a и b сводится к более простой задаче нахождения НОД b и r, . Если r = 0, то . Если же , то рассуждения повторяем, отправляясь от b и r. В результате получаем цепочку равенств:

  , ,

  , ,

  , , ……………………(**)

 ………….. ………..

 ,

 .

Мы получим убывающую последовательность натуральных чисел

 

которая не может быть бесконечной. Поэтому существует остаток, равный нулю: пусть . На основании Т.4.7. из (**) следует, что  .

б) $ x_{i+1}=x_i+\dfrac{1}{3}(x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1);$
в) $ x_{i+1}=x_i-\dfrac{x_i^5-2x_i^3+x_i^2-3x_i+1}{20x_i^3-12x_i+2}.$     
        Упражнение 9.6   Приближённо, с точностью $ {\varepsilon}=0.00001$, найдите точку минимума функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ и вычислите минимальное значение $ f_{\min}=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$:
а) $ f(x)=x^4-3x^3+2x^2+x+1$, $ a=-3;b=4$;
б) $ f(x)=x^6+2x^4-5x^2-3x+2$, $ a=0;b=5$;
в) $ f(x)=x^4e^x+2x^3e^{-x}-4x^2+x+1$, $ a=0;b=2$.
Ответы:
а) $ x_{\min}=-0.17539; f_{\min}=0.90327;$
б) $ x_{\min}=0.97621; f_{\min}=1.99942;$
в) $ x_{\min}=0.71923; f_{\min}=0.56186.$