Пример. Даны векторы
(1; 2; 3), 
(-1; 0; 3), 
(2; 1;
-1) и 
(3; 2; 2)
в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения,
входящие в систему: 
линейно независимы. Тогда
. Это условие выполняется,
если определитель матрицы системы отличен от нуля. 
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
D1 = 
; D2
= 
D3
= 
Итого,
координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.
Длина вектора в координатах
определяется как расстояние между точками начала и конца вектора.
Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то 
.
Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты
этой точки определяются как:
В частном случае
координаты середины отрезка находятся как: x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.
Векторная алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики
операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих
операций.
Линия и плоскость в пространстве Определения и примеры Определение
Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность 
. Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является
уравнением поверхности
в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности
удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности
, этому уравнению не удовлетворяют. Вычисление
длины дуги кривой Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Кривые
и поверхности второго порядка Определение Кривой
второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению второго порядка 
