дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Аналитическая геометрия Кривые второго порядка. Гипербола

Кривые второго порядка. Гипербола.  

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами

.  

y  M(x, y)  b  r1  r2  x  F1 a F2  c  По определению ïr1 – r2ï= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

 

 

 

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда: обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось) =

Получили каноническое уравнение гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.  Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

  Определение. Отношение называется  эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.  С учетом того, что с2 – а2 = b2:

 Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней)

. Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

 Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

 

 Доказательство. Изобразим схематично гиперболу

 

y  a/e d   M(x, y)   r1  0 a F1 x OF1 = c  Из очевидных геометрических соотношений можно записать: a/e + d = x, следовательно d = x – a/e. (x – c)2 + y2 = r2  Из канонического уравнения: , с учетом b2 = c2 – a2: Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a. Итого: . Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.  

Исследование функций и построение графиков Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Приближённое нахождение корней уравнений Вычислим объем шара Примеры решения и оформления задач контрольной работы

     Определение Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.
Кривизной кривой $ L$ в точке $ M_0$ (или при $ x=x_0$) называется число $\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях Узнать совместимость имен в любви и браке;