дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Введение в математический анализ Последовательности

  Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

 2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

  3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

 4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 

  Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

  {xn} = n – возрастающая и неограниченная.

  Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

  Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.

 

  Найдем член последовательности {xn+1}=

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

 

  Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{xn} = .

 

  Найдем .  Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

 

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

 

  Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

  Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

 

х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ …

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)  

Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n  а - e < xN £ xn,

xn > a - e.

Отсюда a - e < xn < a + e

-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т.е. lim xn = a.

 

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

 

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается Вычислить тройной интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

 

 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;