Вывод изображения на печать

Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Дискретная математика Элементы топологии

 Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

 Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р.

 Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке р.

 Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства:

 1) Точка р принадлежит любой своей окрестности.

 2) Если U – окрестность точки р, а V É U, то V – тоже окрестность точки р.

 3) Если U и V – окрестности точки р, то их пересечение U Ç V тоже будет окрестностью точки р.

 4) Если U – окрестность точки р, то можно найти такую окрестность V точки р, что W = V Ì U является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек.

 Определение. Топологическим пространством незывается множество Е, каждая точка которого р имеет набор подмножеств множества Е, называемых окрестностями точки р и удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

 Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство.

 Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Пусть р – точка множества F. Назовем подмножество U множества F окрестностью точки р в F, если U=FÇV, где V – окрестность точки р в E.

 При этом множество F называется подпространством  пространства Е.

Производная по направлению Проведем через точки М и М₁ вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a , b , g . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Метрическое пространство.

 Определение. Метрикой на множестве Е называется функция f(x, y), определенная на декартовом произведении Е´Е, значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях х, у, z из множества Е следующим условиям:

 1) f(x, y) = f(y, x)

 2) f(x, y) + f(y, x) ³ f(x, y)

 3) f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.

 Определение. Метрическим пространством называется множество Е с заданной на нем метрикой f.

 Определение. Число r(x, y), где х ÎЕ и у Î Е – заданные точки, называется расстоянием между этими точками.

 Определение. Пусть r – положительное число. Множество {y: r(x, y) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке х; множество {y: r(x, y) £ r} – замкнутым шаром радиуса r с центром в точке х.

 Например, для трехмерного евклидова пространства R³ метрика определяется как , где х(х₁, х₂, x₃) Î R³ и y(y₁, y₂, y₃) Î R³.

 

Интегральное исчисление - решение задач