Дифференцирование и интегральное исчисление

>Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции, ее геометрический и физический смысл Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Логарифмическое дифференцирование  Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции. Дворец правительства В архитектуре Чандигарха нет ни малейшей ассоциации с колошшьным прошлым Индии, которая совсем недавно, в 1947 г., обрела независимость.

Пример 7.  Найти матрицу А3.

РЕШЕНИЕ. Путём последовательного умножения матриц находим

Свойства произведения матриц:

1) ,

2) ,

3) ,

4)

5) ,

6)

Собственные значения

и собственные векторы матрицы

Будем рассматривать квадратные матрицы размером , или матрицы порядка п.

Определение 4. Число  называется собственным значением матрицы А порядка п, если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство

 (13.5)

Вектор  называется собственным вектором матрицы А, а - собственным значением матрицы А, соответствующим вектору

Если аij – элементы матрицы А, то характеристическая матрица   имеет вид

2. Обратная матрица

Ранг матрицы

ТЕОРЕМА 1. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны.

Понятие обратной матрицы

Определение 1. Матрица порядка п называется вырожденной, если её ранг .

Определение 2. Матрица  называется обратной по отношению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

 (13.6)

Если для некоторой матрицы порядка п её ранг , то для неё не существует обратной матрицы.

Геометрический смысл дифференциала

Вычисление кратных интегралов Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Формула Маклорена
Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.
Пример: Вычислить sin28013¢15¢¢.
Теоремы о среднем
Раскрытие неопределенностей
Пример: Найти предел .

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

 Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

  2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Векторная функция скалярного аргумента

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Параметрическое задание функции

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме

Производная функции, заданной параметрически

Кривизна плоской кривой

Свойства эволюты

Кривизна пространственной кривой

О формулах Френе

  • Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.график.
  • Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

 

Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F¢(x) = f(x).
Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования.
  Пример.   
Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида  Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx..

Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m, n, и p – рациональные числа.
Вычисление определенного интеграла

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

  Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

  Пример. Найти полный дифференциал функции .
  Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).
Кратные интегралы  Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
  Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

Тройной интеграл

 При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

  Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

 

Поляризация света Кинематика, гидродинамика Электростатика Основы расчета на прочность зубчатых передач