Интегральное исчисление - решение задач

Электротехника решение задач
Расчет электротехнических устройств
Проводниковые материалы
Полупроводники
Электропроводность полупроводников
Информатика
Курс лекций по информатике
Физика
Решение задач по физике
Методика решения задач по кинематике
Магнитные цепи
Основы теории электромагнитного поля
Электромагнитные волны
Электродинамика
Искусство
История искусства
Экспрессионизм
Фотоискусство
Скульптура и архитектура
Графика
Инженерная графика
Выполнение графических работ
Оформление чертежей
Построение чертежа в трехмерном
пространстве
Комплексный чертеж
Преобразование комплексного чертежа
Позиционные и метрические задачи
Аксонометрические проекции
Рабочие чертежи
Математика решение задач
Задачи контрольной работы
Функции и их графики
Пределы
Производные
Исследование функций и построение графиков
Векторная алгебра
Аналитическая геометрия
Кривые второго порядка
Матрицы
Математический анализ
Дифференцирование и интегральное исчисление
Методы интегрирования
Примеры решения дифференциальных уравнений
Примеры вычисления интегралов
Вычисление площадей в полярных, параметрических и декартовых координатах
 

Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F¢(x) = f(x).

Пример

Дифференциальное и интегральное исчисление

Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Интегрирование элементарных дробей

Тема 14. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Лекция 30 

Цель – познакомить студентов с понятием определителя, с его основными свойствами, а также с минорами и алгебраическими дополнениями 

1. Операции над определителями

и основные свойства

Понятие определителя

Любой квадратной матрице А порядка п ставится в соответствии по определённому закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, п-го порядка этой матрицы.

Пусть дана матрица

тогда её определитель второго порядка вычисляется по формуле

 (14.1)

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

 (14.2)

а11

а12

а13

а11

а12

а13

а21

а22

а23

__

а21

а22

а23

а31

а32

а33

Рис. 14.1

а31

а32

а33

Рассмотрим определитель п-го порядка

. (14.3)

Определение 1. Определителем матрицы А п-го порядка называется алгебраическая сумма п! произведений п-го порядка элементов этой матрицы, причём в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.

Основные свойства определителей

1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя   представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых: а) все строки (столбцы), за исключением указанной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) определителя ; б) на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, а второй определитель – вторые слагаемые данной строки (столбца) определителя .

6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.

Примеры

Предел функции

  Пример.   
Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида  Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx..

Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m, n, и p – рациональные числа.
Вычисление определенного интеграла

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

  Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

  Пример. Найти полный дифференциал функции .
  Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).
Кратные интегралы  Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
  Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

Тройной интеграл

 При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

  Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.