Правило Лопиталя.Теорема Раскрытие неопределенностей

(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)

 К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

 

 Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

 

  Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

  [an error occurred while processing this directive]

где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

 

  Пусть при х®а отношение  стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение  стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

 

Теорема доказана.