Правило Лопиталя.Теорема Раскрытие неопределенностей

(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)

 К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

 

 Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

 

  Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

 

  Пусть при х®а отношение  стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение  стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

 

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 1 (Кронекера-Капелли, критерий совместности системы). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Методы решения системы

линейных уравнений

Метод обратной матрицы и теорема Крамера

Пусть система уравнений имеет вид

 (15.5)

Составим квадратную матрицу А порядка п этой системы:

А =

1. В матричной форме система уравнений (15.5) имеет вид , где матрицы Х и В имеют размер   Пусть матрица системы А является невырожденной, т.е. существует обратная матрица . Умножив обе части этого уравнения слева на , получаем решение системы (15.5) в матричной форме:

2. Другой метод решения системы уравнений (15.5) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:

,

который называется также определителем системы. Заменим в этом определителе j-й столбец на столбец свободных членов В, т.е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим :