Термех | |||
Лаба | |||
Чертежи | |||
Электроника | |||
(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Доказательство. Применив формулу Коши, получим:
где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:
Пусть при х®а отношение
стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение
стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:
.
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 1 (Кронекера-Капелли, критерий совместности системы). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
Методы решения системы
линейных уравнений
Метод обратной матрицы и теорема Крамера
Пусть система уравнений имеет вид
(15.5)
Составим квадратную матрицу А порядка п этой системы:
А =
1. В матричной форме система уравнений (15.5) имеет вид , где матрицы Х и В имеют размер
Пусть матрица системы А является невырожденной, т.е. существует обратная матрица
. Умножив обе части этого уравнения
слева на
, получаем решение
системы (15.5) в матричной форме:
2. Другой метод решения системы уравнений (15.5) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:
,
который называется также определителем системы. Заменим в этом определителе
j-й столбец на столбец свободных членов В, т.е. получим этой заменой другой
определитель, который обозначим :
|