[an error occurred while processing this directive]

Производные и дифференциалы высших порядков 

 Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

  Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

 

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию : 1)  2) .

РЕШЕНИЕ. 1) Вычислим значения функции и её производных при  имеем

Подставив эти значения в формулу (16.9), получим разложение функции  в ряд Маклорена:

или

Промежуток сходимости найдём по формуле (16.7):  Следовательно,

При  и   ряд расходится, поэтому область сходимости ряда – промежуток

2) I способ. Вычислим значения функции и её производных при ; имеем

Отсюда следует, что

Подставив эти значения в формулу (16.9), получим разложение данной функции в ряд Маклорена:

 

Этот ряд называется логарифмическим рядом.

Промежуток сходимости найдём по формуле (16.7):

т. е.

Исследуем сходимость ряда в точках  и . При  ряд расходится как гармонический. При  имеем знакочередующийся ряд

который сходится по признаку Лейбница. Итак, данный ряд сходится в промежутке

Общие правила нахождения высших производных. 

 Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

 

1)      u)(n) = Cu(n);

2)      (u ± v)(n) = u(n) ± v(n);

3)

.

 Это выражение называется формулой Лейбница.

 

Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.

 

Джованни Лоренцо Бернини Готика, барокко