дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

  Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

 Теорема. Если f¢(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1)<0 и минимум, если f¢¢(x1)>0.

  Доказательство.

 Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f¢(x1)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х<x1 и f¢(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

 

 

Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал сложной функции
Формула Тейлора
Формула Маклорена

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

Теоремы о среднем Пределы Математика Примеры решения задач
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коши
Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Производные и дифференциалы высших порядков

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

Точки экстремума

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;