[an error occurred while processing this directive]

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

  Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

 Теорема. Если f¢(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1)<0 и минимум, если f¢¢(x1)>0.

  Доказательство.

 Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f¢(x1)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х<x1 и f¢(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Тема 17. РЯДЫ ФУРЬЕ

Лекция 41

Цель – познакомить студентов с тригонометрическим рядом Фурье

1. Тригонометрический ряд Фурье

Гармоники

Простой гармоникой называется функция вида , где  и  - постоянные.

Величина, обратная периоду , т. е. , называется частотой; она показывает, сколько раз данное периодическое явление повторяется в единицу времени.

Синусоидальную функцию можно преобразовать к виду

Полагая  получим

Функция , представляющая собой сумму конечного числа гармоник:

является периодической функцией с периодом .

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье для функции  в промежутке изменения аргумента  называется ряд вида

 (17.1)

или, короче,

 (17.2)

где  - коэффициенты ряда, называемые коэффициентами Фурье.

Разложение функции в тригонометрический ряд называется гармоническим анализом.

Чтобы разложить периодическую функцию  с периодом  в тригонометрический ряд, нужно найти коэффициенты этого ряда, которые вычисляются по формулам:

 (17.3)

 (17.4)

 (17.5)