[an error occurred while processing this directive]

Односторонние производные функции в точке

  Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.

 

 

  Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

 

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

РЕШЕНИЕ. График функции с периодическим продолжением на всю ось Ох изображён на рисунке.

По формулам (3) – (5) найдём коэффициенты Фурье, учитывая, что   в промежутке  и  в промежутке .

Сначала находим

Первый интеграл равен нулю, поэтому

Далее, находим коэффициенты :

Первый интеграл равен нулю, второй интеграл вычисляем по частям по формуле Здесь  откуда

Придавая п значения 1, 2, 3, получим .

Находим коэффициенты :

Интегрируем по частям; полагая  получим

откуда .

По формуле (1) имеем

или

  Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна  в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

 

  Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

  Понятно, что это условие не является достаточным.