[an error occurred while processing this directive]

Методы интегрирования Непосредственное интегрирование

 

  Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

 Пример 1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1)

2)

3)

4)

РЕШЕНИЕ. 1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:  и  Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд

составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , но

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

3) Используя признак Лейбница, получим

 

т. е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Это геометрический ряд вида  который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

  Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

 Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования  можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

  Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

  Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

 

купить наручники в красноярске