[an error occurred while processing this directive]

Методы интегрирования Интегрирование по частям

  Пример.

  Пример.

Основные свойства двойного интеграла

1°. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций:

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3°. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, т. е. если область состоит из двух областей D1 и D2, то

Основные случаи вычисления двойного интеграла

 в прямоугольных координатах

1) Если область D, в которой рассматривается двойной интеграл (18.2), есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и заданными уравнениями  (рис. 18.1), то двойной интеграл вычисляется по одной из формул

 (18.3)

или

 (18.4)

у

 
Интегралы в правых частях формул (18.3) и (18.4) называются повторными (или двукратными), а интегралы  и  называются внутренними.

2) Если область D такова, что любая прямая, проходящая внутри этой области и параллельная оси Оу, пересекает её границу в двух точках (рис. 18.2 и 18.3), то эта область называется простой относительно оси Ох и определяется системой неравенств вида

В этом случае двойной интеграл выражается через повторный интеграл по формуле

 (18.5)

3) Если граница области D пересекается в двух точках всякой прямой, проходящей внутри этой области и параллельной оси Ох (рис. 18.4), то эта область называется простой относительно оси Оу и определяется системой неравенств вида

В этом случае двойной интеграл выражается формулой

 (18.6)

где интегрирование сначала выполняется по переменной х, а затем по переменной у.

  Пример.

  Пример.

  Пример.

  Пример.

  Пример.

  Пример.

  Пример.

 

 Пример.

Ленинградская АЭС