[an error occurred while processing this directive]

Производная сложной функции Курс лекций

 

  Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

 

  Тогда 

 

 Доказательство. 

 

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

 

  Тогда

 

Лекция 44

Цель - разобрать разложение в ряд Фурье функции, заданной в промежутке

4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной

в промежутке

Если функция определена в промежутке , то для вычисления коэффициентов Фурье справедливы следующие формулы:

 (17.11)

 (17.12)

 (17.13)

Пример 5. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную в промежутке  равенством  (рисунок).

РЕШЕНИЕ. Функция  в промежутке  не является ни чётной, ни нечётной.

Коэффициенты Фурье вычислим по формулам (11)-(13). Имеем

Интегрируем по частям; полагая  получим

Снова интегрируем по частям:

тогда

Подставив это значение в , получим

откуда

Далее, находим

Интегрируем по частям:

откуда

Снова интегрируя по частям, имеем  т. е.

Подставив это значение в , получим

откуда .

Подставляя значения коэффициентов  и  в формулу (1), находим

В точке разрыва  сумма ряда равна  так как  то сумма ряда при  (а также во всех точках вида , где ) равна