Физика
Электротехника
Искусство
Термех
Задачи
Информатика
Контрольная
Лаба

Графика

Курсовая
Математика
Чертежи

Реактор

Энергетика
Сопромат
Электроника

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

 

Интеграл вида где n- натуральное число.

 

С помощью подстановки   функция рационализируется.

Тогда

 

  Пример.

 

  Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

  Проиллюстрируем это на примере.

Геометрический ряд

Ряд вида  называется геометрическим рядом и сходится при , а расходится при .

Гармонический ряд

Ряд вида

называется гармоническим и является расходящимся.

Обобщённый гармонический ряд

Ряд вида

называется обобщённым гармоническим рядом.

Обобщённый гармонический ряд сходится при  и расходится при

Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену: 1) ;

2) ; 3)

РЕШЕНИЕ. 1) Полагая  имеем бесконечную последовательность чисел:  Сложив её члены, получим ряд

2)

3) Придавая п значения 1, 2, 3, … и учитывая, что  получим ряд

Пример 2. Найти п-й член ряда по его данным первым членам:

1)  2)   3)

РЕШЕНИЕ. 1) Знаменатели членов ряда, начиная с тройки, являются нечётными числами; следовательно, п-й член ряда имеет вид

2) Числители членов ряда представляют собой квадратные корни из натуральных чисел, а их соответствующие знаменатели равны п!. Знаки чередуются по закону . Общий член ряда имеет вид

3) Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону  или по закону . Значит, п-й член ряда имеет вид   или .

 

 Пример.

 

 

Полупроводники