[an error occurred while processing this directive]

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

 

Интеграл вида где n- натуральное число.

 

С помощью подстановки   функция рационализируется.

Тогда

 

  Пример.

 

  Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

  Проиллюстрируем это на примере.

Геометрический ряд

Ряд вида  называется геометрическим рядом и сходится при , а расходится при .

Гармонический ряд

Ряд вида

называется гармоническим и является расходящимся.

Обобщённый гармонический ряд

Ряд вида

называется обобщённым гармоническим рядом.

Обобщённый гармонический ряд сходится при  и расходится при

Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену: 1) ;

2) ; 3)

РЕШЕНИЕ. 1) Полагая  имеем бесконечную последовательность чисел:  Сложив её члены, получим ряд

2)

3) Придавая п значения 1, 2, 3, … и учитывая, что  получим ряд

Пример 2. Найти п-й член ряда по его данным первым членам:

1)  2)   3)

РЕШЕНИЕ. 1) Знаменатели членов ряда, начиная с тройки, являются нечётными числами; следовательно, п-й член ряда имеет вид

2) Числители членов ряда представляют собой квадратные корни из натуральных чисел, а их соответствующие знаменатели равны п!. Знаки чередуются по закону . Общий член ряда имеет вид

3) Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону  или по закону . Значит, п-й член ряда имеет вид   или .

 

 Пример.

 

 

Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R