Интегральное исчисление Определенный интеграл

  Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

 

 y

  M

 

 

 

 

 

  Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = Dx₁, x₂ – x₁ = Dx₂, … ,x_n – x_n-1 = Dx_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

  [an error occurred while processing this directive]

[x₀, x₁] ® m₁, M₁;  [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n-1, x_n] ® m_n, M_n.

 

  Составим суммы:

_n = m₁Dx₁ + m₂Dx₂ + … +m_nDx_n =

_n = M₁Dx₁ + M₂Dx₂ + … + M_nDx_n =

  Сумма  называется нижней интегральной суммой, а сумма  – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i £ M_i, то _n £ _n, а  m(b – a) £ _n £ _n £ M(b – a)

 

  Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e <  x₂,  … , x_n-1 < e < x_n.

 

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

 

S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Тогда можно записать: m_iDx_i £ f(e_i)Dx_i £ M_iDx_i

 

  Следовательно,

 

  Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

  Обозначим maxDx_i – наибольший отрезок разбиения, а minDx_i – наименьший. Если maxDx_i® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

  [an error occurred while processing this directive]

Если  , то

 

  Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

 

  Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

 

  Определение: Если для функции f(x) существует предел  то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

 

Также верны утверждения:

 

  Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Первообразная функция

Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Дифференциальное и интегральное исчисление

Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования.

• Способ подстановки (замены переменных)
• Интегрирование по частям
• Интегрирование элементарных дробей Определенные интегралы Математика Примеры решения задач

Предел функции

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида  Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx..

 

 

 

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях коллектор впускной левый турбо ;