[an error occurred while processing this directive]

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений 

 

Пример: Найти объем шара радиуса R.

 

 

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

 

  Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

 

 

 

 При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

 Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Тема 18. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Лекция 46

Цель – познакомить студентов с определением и основными свойствами двойного интеграла, а также с основными случаями вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах

1. Двойной интеграл и его вычисление

Определение двойного интеграла

Разобьём замкнутую ограниченную область D плоскости xOy, в которой определена непрерывная функция , произвольным образом на п частичных областей с площадями . В каждой i-й элементарной области  выберем произвольную точку  на площадь   соответствующей области и составим сумму этих произведений, т. е. , которая называется интегральной суммой функции   в области D.

Двойным интегралом функции  по области D называется предел этой суммы:

 (18.1)

где  - наибольший из диаметров элементарных областей . Функция , для которой предел (1) существует и конечен, называется интегрируемой в этой области.

В прямоугольных координатах дифференциал площади , тогда двойной интеграл примет вид

 (18.2)

Если , то двойной интеграл функции  по области D равен объёму тела, ограниченного сверху поверхностью , сбоку цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит контур фигуры D, и снизу плоскостью

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды: