[an error occurred while processing this directive]

Площадь поверхности тела вращения

 

 

 

  Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

 

  Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DPi. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь DSi – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа к отношению .

Получаем:

Тогда

 

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда  - формула вычисления площади поверхности тела вращения.