[an error occurred while processing this directive]

Формула Маклорена курс лекций

Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.

 

  Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

 

 

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

  Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

 

 Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

 Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

 Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при х®а, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т.е.

 

.

 Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

 

 

Решением системы уравнений (15.1) называется набор п чисел , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определённой, либо, если у неё больше одного решения, она называется неопределённой.

Системы уравнений вида (15.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относится:

вычёркивание уравнения  - нулевой строки;

перестановка уравнений или слагаемых  в уравнениях;

прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;

удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.

Матричная форма системы уравнений

Сведём коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (15.1) в матрицу

 (15.2)

Эта матрица состоит из т строк и п столбцов и называется матрицей системы. Введём в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных членов В:

Тогда систему уравнений (15.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен , а размер Х -  и, значит, произведение матриц имеет смысл:

 (15.3)

Введём в рассмотрение ещё одну матрицу; дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размером :

. (15.4)

Матрица АВ называется расширенной матрицей системы.