[an error occurred while processing this directive]

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

 

 Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

 Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

 Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Функция f(x) = ex.

 

 Находим: f(x) = exf(0) = 1

f¢(x) = ex,  f¢(0) = 1

……………………

f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1

Лекция 42

Цель – познакомить студентов с рядом Фурье для нечётной функции

2. Ряд Фурье для нечётной функции

Если в промежутке  функция  является нечётной, т. е. , то

  (17.6)

Следовательно, нечётная функция разлагается в ряд Фурье по синусам:

 (17.7)

Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , если

РЕШЕНИЕ. График функции с периодическим продолжением на всю ось Ох изображён на рисунке. Заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, поэтому её можно разложить в ряд Фурье. В промежутке  функция  - нечётная, поэтому её можно разложить в ряд Фурье только по синусам (коэффициенты при косинусах равны нулю).

Коэффициенты  находим по формуле (6):

Интегрируем по частям; полагая  имеем

откуда .

Подставив эти значения в формулу (7), получим

,

или

Это равенство имеет место в точках непрерывности функции , т. е. во всех внутренних точках промежутка  Вне этого промежутка этот ряд изображает периодическое продолжение данной функции.

В точках разрыва  сумма ряда равна среднему арифметическому её левостороннего и правостороннего пределов в этих точках. Предел в точке  есть  предел в точке  есть  Найдём среднее арифметическое этих пределов:

Во всех точках разрыва получим то же значение, т. е. сумма ряда равна нулю.

Полученное разложение можно записать и в таком виде:

Этот ряд можно использовать для вычисления значения  Пусть  тогда

откуда следует, что

.

 

Тогда: 

 Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.

 

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

 

 

  На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

 Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

 

Примеры выполнения заданий курсовых расчетов для студентов