[an error occurred while processing this directive]

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

 

Функция f(x) = ln(1 + x).

 

  Получаем: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f¢(x) =

 

 

………………………………………

 

 

Итого:

 

 

  Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

 

ln1,5 = 0,405465108108164381

 

 

  Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.

  Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов.

 

Пример 4. Вычислить двойной интеграл  по области D, заданной линиями  и

РЕШЕНИЕ. Находим точки пересечения этих линий:

х

 
Область D определяется системой неравенств  Вычислим двойной интеграл по области D:

Пример 5. Вычислить двойной интеграл  по области D, ограниченной линиями  и

РЕШЕНИЕ. Находим точки пересечения этих линий:

Область D разобьем на две область D1 и D2, которые соответственно определяются системами неравенств  и

Вычислим двойной интеграл по области D1:

Вычислим двойной интеграл по области D2:

Значит,

Высшая математика Примеры вычисления интегралов