Высшая математика теория и решение задач

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

  Решение дифференциального уравнения вида  или, короче,  будем искать в виде , где k = const.

  Т.к.  то

 

 При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

  Для того, чтобы функция  являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

 т.е.

  Т.к. ekx ¹ 0, то  - это уравнение называется характеристическим уравнением.

 

  Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение  имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

 

  В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

  Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 

  1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

  2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

  a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

 

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

  и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней  характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

 

 3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

 

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.