Высшая математика теория и решение задач

 

 Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

 

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

 

где число r показывает сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

 

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

  Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений

 и

 

  Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

  [an error occurred while processing this directive]

Пример. Решить уравнение

 

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).

Составим и решим характеристическое уравнение:

 

1.      Для функции f1(x) решение ищем в виде .

Получаем:  Т.е. 

 

Итого:

2.      Для функции f2(x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f2(x), получаем:

  Таким образом,

 

 

 

Итого:

 

  Т.е. искомое частное решение имеет вид: