Элементы теории устойчивости

 

 

  Т.е. можно сказать, что решение j(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ³ t0.

  Если , то решение j(t) называется асимптотически устойчивым.

  Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения  системы можно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

  Тогда:

   (2)

 

  Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение

 

  Теорема. Решение   системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2).

  Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя.

[an error occurred while processing this directive]

  Определение. Точка покоя системы (2) устойчива по Ляпунову, если для любого  такое, что из неравенства

следует

.

 

  Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система

имеющая тривиальное решение .

  Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям:

  1) ³0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат.

  2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:

 при 

Тогда точка покоя  устойчива по Ляпунову.

  Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат  выполнялось условие

где b - постоянная величина, то точка покоя  асимптотически устойчива.

  Функция v называется функцией Ляпунова.