Классификация точек покоя

 

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

 

 Рассмотрим следующие возможные случаи:

 

1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

Точка покоя  будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

  [an error occurred while processing this directive]

2) Корни характеристического уравнения действительны и

 или .

В этом случае точка покоя также будет устойчива.

3) Хотя бы один из корней  положителен.

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым седлом.

 

4) Оба корня характеристического уравнения положительны .

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым узлом.

Если полученного решения системы исключить параметр t, то полученная функция  дает траекторию движения в системе координат XOY.

Возможны следующие случаи:

[an error occurred while processing this directive]

 b b

 

 

 

  a a

 

  Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло.

5) Корни характеристического уравнения комплексные .

Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.

Такая точка покоя называется центром.

Если  p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом.

Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.