Высшая математика Уравнение колебаний струны

 

Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.

 

  Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении.

  Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания.

  Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как

 u

 

 

 C

 

 На произвольный элемент длины нити (х, х + Dх) действуют две силы натяжения

 и . При этом:

[an error occurred while processing this directive]  

Если считать колебания малыми, то можно принять:

Тогда проекция силы на ось u:

Проекция силы  на ось u:

Находим сумму этих проекций:

Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа к выражению, стоящему слева.

  Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:

где r - плотность струны.

  Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:

[an error occurred while processing this directive]

 

 Или  

 

  Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0.