Уравнение теплопроводности

 

  Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции:

Составим дифференциальное уравнение:

Выражение  называется оператором Лапласа.

Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:

и называется уравнением теплопроводности в пространстве.

  В качестве частных случаев рассматривают:

   - уравнение теплопроводности в стержне,

   - уравнение теплопроводности на плоскости.

В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию  и граничным условиям .

 

  В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:

 

 Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если функция u не зависит от времени t.