Решение задачи Дирихле для круга

 

  Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j - полярный угол.

  Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа

и при

 

  Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:

Полагаем  Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:

 

Таким образом, имеем два уравнения:

Общее решение первого уравнения имеет вид:

Решение второго уравнения ищем в виде: . При подстановке получим:

Общее решение второго уравнения имеет вид: .

 

  Подставляя полученные решения в уравнение , получим:

Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ¹ 0.

  [an error occurred while processing this directive]

  Если k = 0, то  следовательно .

Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.

  Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.

 

Окончательно получаем:

 

 

При этом:

 

Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)