Координатные сетки

Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции Прикладная математика и физикаОбщая характеристика протоколов локальных сетей

Решение задачи Дирихле для круга

Вычисление неопределенного интеграла
	Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе
Несобственные интегралы первого и второго рода
	Определение первообразной и её свойстваСвойства несобственных интегралов первого и второго рода Функция нескольких переменных Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Кратные интегралы
	Вычисление двойного и тройного интеграла Геометрические и физические приложения кратных интегралов
Первообразная и производная
	Определение первообразной и её свойства Частные производные Производная сложной функции Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений
Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле
Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы
	Свойства криволинейного интеграла первого и второго рода Таблица изображений некоторых функций
Функциональные и степенные ряды, сходимость ряда
	Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда Функциональные последовательности Разложение функций в степенные ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Решение дифференциального уравнения
	Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Метод Лагранжа

 

  Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j - полярный угол.

  Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа

и при

  Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:

Полагаем  Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:

Таким образом, имеем два уравнения:

Общее решение первого уравнения имеет вид:

Решение второго уравнения ищем в виде: . При подстановке получим:

Общее решение второго уравнения имеет вид: .

  Подставляя полученные решения в уравнение , получим:

Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ¹ 0.

  [an error occurred while processing this directive]

  Если k = 0, то  следовательно .

Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В₀ = 0.

  Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D₀ = 0.

Окончательно получаем:

При этом:

Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;