| |
| Вычисление неопределенного интеграла | |
| Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе | |
| Несобственные интегралы первого и второго рода | |
| Определение первообразной и её свойстваСвойства несобственных интегралов первого и второго рода Функция нескольких переменных Примеры решения и оформления задач контрольной работы | |
| Кратные интегралы | |
| Вычисление двойного и тройного интеграла Геометрические и физические приложения кратных интегралов | |
| Первообразная и производная | |
| Определение первообразной и её свойства Частные производные Производная сложной функции Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений | |
| Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле | |
| Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы | |
| Свойства криволинейного интеграла первого и второго рода Таблица изображений некоторых функций | |
| Функциональные и степенные ряды, сходимость ряда | |
| Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда Функциональные последовательности Разложение функций в степенные ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций | |
| Решение дифференциального уравнения | |
| Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Метод Лагранжа | |
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда 
с неотрицательными членами необходимо и достаточно,
чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть
даны два ряда и 
при un, vn ³ 0.
Теорема. Если un £ vn при
любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости
ряда следует расходимость ряда
Доказательство. Обозначим через Sn и
sn частные суммы
рядов
и . Т.к. по
условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при
всех n sn <
M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
Т.к.
, а гармонический
ряд 
расходится, то расходится и ряд 
.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
Т.к.
, а ряд 
сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд 
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема.
Если 
и
существует предел 
, где h – число,
отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.
| Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ; |