| |
| Вычисление неопределенного интеграла | |
| Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе | |
| Несобственные интегралы первого и второго рода | |
| Определение первообразной и её свойстваСвойства несобственных интегралов первого и второго рода Функция нескольких переменных Примеры решения и оформления задач контрольной работы | |
| Кратные интегралы | |
| Вычисление двойного и тройного интеграла Геометрические и физические приложения кратных интегралов | |
| Первообразная и производная | |
| Определение первообразной и её свойства Частные производные Производная сложной функции Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений | |
| Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле | |
| Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы | |
| Свойства криволинейного интеграла первого и второго рода Таблица изображений некоторых функций | |
| Функциональные и степенные ряды, сходимость ряда | |
| Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда Функциональные последовательности Разложение функций в степенные ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций | |
| Решение дифференциального уравнения | |
| Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Метод Лагранжа | |
Пусть
- знакопеременный
ряд.
Признак Даламбера. Если существует предел 
, то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает
ответа о сходимости ряда.
Признак Коши. Если существует предел 
, то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся,
а при r>1 ряд будет расходящимся. При
r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными
членами.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
5) Если ряды 
и
сходятся абсолютно
и их суммы равны соответственно S
и s, то ряд, составленный
из всех произведений вида 
взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно
и его сумма равна S×s - произведению
сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.
| Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ; |