| |
| Вычисление неопределенного интеграла | |
| Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе | |
| Несобственные интегралы первого и второго рода | |
| Определение первообразной и её свойстваСвойства несобственных интегралов первого и второго рода Функция нескольких переменных Примеры решения и оформления задач контрольной работы | |
| Кратные интегралы | |
| Вычисление двойного и тройного интеграла Геометрические и физические приложения кратных интегралов | |
| Первообразная и производная | |
| Определение первообразной и её свойства Частные производные Производная сложной функции Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений | |
| Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле | |
| Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы | |
| Свойства криволинейного интеграла первого и второго рода Таблица изображений некоторых функций | |
| Функциональные и степенные ряды, сходимость ряда | |
| Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда Функциональные последовательности Разложение функций в степенные ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций | |
| Решение дифференциального уравнения | |
| Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Метод Лагранжа | |
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд 
сходится
равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b],
если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов
сходящегося числового ряда с положительными членами :
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом 
.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
.
Так
как 
всегда,
то очевидно, что 
.
При
этом известно, что общегармонический ряд 
при a=3>1 сходится, то
в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и
притом в любом интервале.
Пакет для работы с графической информацией Corel DRAW Тригонометрическая подстановка Передача дискретных данных по линиям связи
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
.
На
отрезке [-1,1] выполняется неравенство 
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый
ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если члены ряда
- непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x)
есть непрерывная функция на отрезке [a,b].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда
сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные
производные, и ряд, составленный из этих производных 
сходится на этом отрезке
равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
| Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ; |