Ряды Фурье Тригонометрический ряд

 

  Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче,

  Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.

 

  Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p.

  Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).

  Определим коэффициенты этого ряда.

  [an error occurred while processing this directive]

  Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

 Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.

  Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл

Такой результат получается в результате того, что .

Получаем:

 

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -p до p.

 

Отсюда получаем:

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p.

 

Получаем:

 

Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.

  [an error occurred while processing this directive]

 Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

 

  Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.