Производная функций комплексного переменного

 

Условия Коши – Римана.

  Рассмотрим функцию комплексной переменной , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

 

 Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:

 

1)

2)

 

 В первом случае:

 

 

Во втором случае:

 

 

Тогда должны выполняться равенства:

[an error occurred while processing this directive]

 Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

 

  Теорема. Если функция  имеет производную в точке

z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.

 

  Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

 

  Теорема. Для того, чтобы функция  была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.