Ряды Тейлора и Лорана 

 

  Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (zz0).

 

  Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

 

 Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.

 

  Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:

[an error occurred while processing this directive]

 

 Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:

 

 Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана.

 

  Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге  за исключением центральной точки z0. Как правило, в этой точке функция бывает не определена.

 

  Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f.

 

Рассмотрим следующие частные случаи:

 

  1) Функция f(x) имеет вид: . Т.к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f1(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z0.

  В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.

  В этом случае  для любого контура L, содержащего точку z0 и принадлежащего к кругу .