Высшая математика Теоремы свертки и запаздывания

   

  Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула

где t0 – некоторая точка.

 

  Определение. Выражение  называется сверткой функций f1(t) и f2(t) и обозначается f1* f2.

 

  Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа от функций f1(t) и f2(t) .

 

 

 Теорема. (Интеграл Дюамеля (Дюамель (1797 – 1872) – французский математик)). Если , то верно равенство

 

 Для нахождения изображений различных функций наряду с непосредственным интегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства.

 

  Пример. Найти изображение функции .

Из таблицы изображений получаем: .

По свойству интегрирования изображения получаем:

  [an error occurred while processing this directive]

 Пример. Найти изображение функции .

 

Из тригонометрии известна формула

Тогда =.

 

 

  Операционное исчисление используется как для нахождения значений интегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.

  Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

 Требуется найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

 Если функция x(t) является решением этого дифференциального уравнения, то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.

 Из теоремы о дифференцировании оригинала {} можно сделать вывод, что

 

  Тогда

  Обозначим

 

Получаем:

 

Это уравнение называется вспомогательным (изображающим) или операторным уравнением.

  Отсюда получаем изображение , а по нему и искомую функцию x(t).

 

  Изображение получаем в виде:

  [an error occurred while processing this directive]

Где

Этот многочлен зависит от начальных условий. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:

Рассмотрим применение этого метода на примерах.