Формула Стокса

  Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода. Вычислим объем шара Примеры решения и оформления задач контрольной работы

  Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L – непрерывный кусочно – гладкий контур поверхности S.

  z S

 

 

 

 

 

 

  Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный.

 

 

 Введем обозначения:

Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следуюшее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом:

 

 

эта формула и называется формула Стокса.

 

  Определение. Вектор , компоненты которого равны соответственно равны

называется вихрем или ротором вектора  и обозначается:

 

 

 Определение. Символический вектор  называется оператором Гамильтона. ( Уильям Роуан Гамильтон (1805 – 1865) – ирландский математик) Символ Ñ - “набла”.

 

  С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора вектора  как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор .