Методы решения дифференциальных уравнений

    

  Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

 

Метод Бернулли.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

 Криволинейный интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы

  Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

  При этом очевидно, что  - дифференцирование по частям.

 

  Подставляя в исходное уравнение, получаем:

 Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

  Например, функция  может быть представлена как

 и т.п.

  Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

  Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

 

 

  Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение  с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

 

  Интегрируя, можем найти функцию v:

;

  Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

  Подставляя полученные значения, получаем:

 

 

 Окончательно получаем формулу:

, С2 - произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.