Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной

    

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик,  през. Берлинской АН, поч. чл. Пет. АН (1776)).

  

Метод Лагранжа  решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом  вариации произвольной постоянной.

 

  Вернемся к поставленной задаче:

 

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

  Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.

  Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

 

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

 

 

 

Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):

Интегрируя, получаем:

 Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

 

.

 Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

 

  При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться  простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

 

  Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.