Решение дифференциальных уравнений

  Пример. Решить уравнение

 

Проверим условие тотальности:

 

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию u. Масса неоднородного тела Примеры решения и оформления задач контрольной работы

;

Итого,

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

 

Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).

 

  Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

Для уравнения первого типа получаем: 

Делая замену, получаем:

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

  Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

 

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

 

  Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат: