Уравнения Лагранжа и Клеро

 

Пример. Решить дифференциальное уравнение  с начальным условием у(1) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Функции нескольких переменных Математика Примеры решения задач

 

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид: 

 

C учетом начального условия у(1) = 0: 

Частное решение: 

 

Пример. Найти решение дифференциального уравнения  с начальным условием у(1) = е.

 

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

 

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

 

Сделаем обратную замену:

Общее решение:

 

C учетом начального условия у(1) = е: 

Частное решение:

 

  Второй способ решения.

 

 Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

 

 Решение исходного уравнения ищем в виде:

Тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

 

 Получаем общее решение: