Численные методы решения дифференциальных уравнений

  Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.

  В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.

  Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата.

  Рассмотрим некоторые из них.

 

Метод Эйлера.

(Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )

Уравнения в полных дифференциалах. Математика Примеры решения задач

  Известно, что уравнение  задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке.

  Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию. 

 y

 

 M2

 M1 M3

 

 При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке

  Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение

  Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:

  Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.

  Можно записать общую формулу вычислений:

 

 Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:

 

Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.

Суть метода состоит в том, что в формуле  вместо значения

 берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда уточненное значение:

 Затем находится значение производной в точке . Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и , находят второе уточненное значение у1.

 Затем третье:

и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера.

  Аналогичная операция производится для остальных значений у.

 

Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.