Свойства несобственных интегралов второго рода

Свойства несобственных интегралов второго рода, по сути дела, повторяют свойства несобственных интегралов первого рода: меняется лишь база предела, задающего несобственный интеграл, с $ b_1\to+\infty$ для интеграла

 

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{b_1\to+\infty}\int_a^{b_1}f(x)\;dx$

на $ b_1\to b$ для интеграла от функции с особенностью в точке $ b$ :

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\lim_{b_1\to b}\int_a^{b_1}f(x)\;dx.$

Поэтому, пояснив происходящее доказательством одного из свойств, мы оставляем прочие свойства несобственных интегралов второго рода читателю в качестве упражнения и приводим одни лишь формулировки этих свойств.

Итак, приводим одно из свойств с доказательством.

        Теорема 4.5   Пусть фиксированы числа $ a,b\in\mathbb{R}$ и функция $ f(x)$ интегрируема на любом отрезке $ [a;b_1]$ , где $ b_1\in[a;b)$, и имеет особенность в точке $ b$ . Тогда если несобственный интеграл $ \int\limits_a^bf(x)\;dx$ сходится, то при любом $ a_1\in[a;b)$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx$ . Обратно, если при некотором